1. ประวัติฟีโบนัชชี ( Fibonacci) กูกลีเอลโม วิลเลียม (Guglielmo William) บิดาของฟีโบนัชชีมีฉายาว่า โบนัชโช (Bonaccio แปลว่า อารมณ์ดี หรือ ง่าย ๆ) เลโอนาร์โดได้รับชื่อเล่นหลังจากเสียชีวิตแล้วว่า ฟีโบนัชชี (Fibonacci หรือบุตรชายของโบนัชโช) วิลเลียมทำาหน้าที่กำกับการค้าที่เมืองบูเกีย(Bugia) ซึ่งเป็นเมืองท่าอยู่บริเวณแอฟริกาเหนือ (บางแหล่งว่า เขาเป็นกงสุลจากเมืองปีซา) เลโอนาร์โดเดินทางมาช่วยงานบิดาของเขาตั้งแต่ยังเด็ก และที่นี่เองที่เขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับระบบเลขอาราบิก หลังจากที่ฟีโบนัชชีได้เห็นว่าการคำานวณด้วยตัวเลขอารบิกนั้นง่ายและมีประสิทธิภาพกว่าตัวเลขโรมัน เขาได้เดินทางท่องไปในย่านคาบสมุทรเมดิเตอร์เรเนียนเพื่อทำาการศึกษากับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำาชาวอาหรับในยุคนั้น และได้เดินทางกลับมาเมื่อประมาณปี ค.ศ. 1200และ ปี ค.ศ. 1202 เมื่อเขาอายุได้ 32 ปี เขาได้เผยแพร่สิ่งที่เขาศึกษามาในหนังสือ ลิเบอร์ อะบาชี (Liber Abaci) หรือ คัมภีร์แห่งการคำานวณ เลโอนาร์โดได้รับเกียรติให้เป็นพระราชอาคันตุกะของจักรพรรดิเฟรดริกที่ 2 (Emperor Frederick II) ผู้ทรงโปรดปรานคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ในปี ค.ศ. 1240 สาธารณรัฐปีซาได้ให้เกียรติกับเลโอนาร์โด ภายใต้ชื่ออีกชื่อหนึ่งคือ เลโอนาร์โด บีกอลโล (Bigollo มีความหมายว่า ไม่มีประโยชน์ หรือ นักพเนจร) โดยให้เงินเดือนแก่เขานับจากนั้น ในหนังสือ "ลีเบอร์ อาบาชี" (Liber Abaci) เขาได้แนะนำาสิ่งที่เรียกว่าวิธีการของชาวอินเดีย หรือ เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันในนามของตัวเลขอารบิก ดังนี้
2.หลังจากพ่อของข้าได้รับแต่งตั้งจากทางบ้านเมืองของท่าน ให้เป็นข้าราชการศุลกากรของรัฐแห่งเมืองบูเกีย ทีทำงานเกี่ยวข้องกับพ่อค้าจากปีซา ท่านได้เข้ามารับตำแหน่ง และได้เห็นประโยชน์และความสะดวกในอนาคตของการคำนวณวิธีนี้ จึงได้ให้ข้ามาอยู่กับท่านตั้งแต่เด็ก และต้องการให้เขาเรียนรู้มันสักวันหนึ่ง"หลังจากที่เขาได้รู้จักตัวเลขเก้าตัวของชาวฮินดูจากที่นั่น ความ มหัศจรรย์จากการเรียนการสอน ศิลปะวิทยาการและความรู้สาขานี้ดึงดูดใจข้ามากกว่าศาสตร์แขนงใด และเขาทราบว่าศาสตร์นี้ได้รับการศึกษาอย่างหมดจดทุกแง่มุมใน อียิปต์ ซีเรีย กรีซ ซิซิลี และ โปรเวนซ์(Provence) ด้วยวิธีการอันหลากหลายขณะที่เขาทำงานอยู่ "เขาได้ศึกษาต่อในเบื้องลึก และได้ทราบถึงข้อดีและข้อเสียต่าง ๆแต่สิ่งต่าง ๆ ทีเขารู้ และ วิธีการคำนวณมากมาย หรือแม้แต่ศาสตร์ของพีทากอรัส (Pythagoras) นั้น เขาเห็นว่าแทบจะบกพร่องเมื่อเทียบกับวิธีของชาวฮินดู ดังนั้นข้าจึงยึดมั่นกับวิธีการของชาวฮินดูมากขึ้น และอุทิศตัวในการศึกษาวิธีนี้อย่างแข็งขันขึ้น โดยที่ขาได้แทรกความเข้าใจของเขาบางประการลงไป รวมทั้งสิ่งดี ๆ จากศาสตร์เรขาคณิตของยุคลิด(Euclid) เขาได้พากเพียรเขียนจนได้หนังสือสิบห้าบทให้เข้าใจได้ง่ายเท่าที่เขาสามารถจะทำได้ "สิ่งต่าง ๆ เกือบทั้งหมดที่เขาสอน เขาได้แสดงมันพร้อมกับบทพิสูจน์ที่ถูกต้อง เพื่อให้ผู้ที่ต้องการหาความรู้เพิ่มเติม โดยมีพื้นจากวิธีการเก่า ๆ ก่อนหน้า ให้สามารถเรียนรู้ได้ ถ้าบังเอิญเขาได้ละเว้นสิ่งใดอย่างไม่เหมาะสมและไม่จำเป็น ข้าต้องขออภัย เนื่องจากไม่มีใครที่จะไร้ที่ติ และทราบการณ์ได้ทุกอย่าง ตัวเลขของอินเดียทั้งเก้าคือ 9 8 7 65 4 3 2 1 ด้วยตัวเลขทั้งเก้านี้ พร้อมด้วยสัญลักษณ์ 0 เราสามารถเขียนจำนวนใดก็ได้" ในหนังสือเล่มนี้ เขาได้แสดงความสำคัญของระบบจำนวนใหม่นี้ที่มีประโยชน์ในการใช้ทำบัญชีการค้า แปลงหน่วยการชั่งการวัด การคำนวณดอกเบี้ย การแลกเปลี่ยนเงินตรา และ การประยุกต์ใช้อื่นอีกมากมาย หนังสือเล่มนี้ได้รับการต้อนรับอย่างกว้างขวางจากชาวยุโรปที่มีการศึกษา และมีอิทธิพลอย่างล้ำลึกต่อแนวความคิดของชาวยุโรปแม้ว่าระบบเลขฐานสิบนี้จะยังไม่ได้รับการใช้อย่างกว้างขวางจนกระทั่งมีนวัตกรรมของการพิมพ์ในอีกเกือบสามร้อยปีต่อมา นอกจากนี้ เขายังค้นพบลำดับฟีโบนันซี คือ 1 1 2 3 5 8 13 21โดยที่เลขสองตัวข้างหน้าบวกกันกลายมาเป็นผลลัพธ์ ของอีกตัวหนึ่ง
3. ทางด้านขวา เช่น 2+3 =5 ไปเรื่อยๆ อย่างเช่น ในหนังสือ รหัสลับดาวินซี ที่ โซนิแยร์ทงไว้ให้โรเบิร์ต แลงดอน และ โซเฟีย ทีปรากฏในวรรณกรรม รหัสลับดาวินชี เลขฟีโบนัชชี การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี ความยาวด้าน เท่ากับจำานวนฟีโบนัชชี ในทางคณิตศาสตร์ เลขฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci number)เป็นเลขในลำดับเลขฟีโบนัชชี จำกัดความหมายด้วยสูตร: โดยกฎว่าเลขลำดับแรกคือ 0 ลำดับที่สองคือ 1 และลำดับถัดไปคือผลบวกของเลขในสองลำดับก่อนหน้านี้ รายชื่อตัวเลขดังนี้คือลำดับเลขฟีโบนัชชี เริ่มต้นจากลำดับแรก: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,10946, ฯลฯ
4. ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ ลีโอนาโดแห่งปิซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบลำดับฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13รูปปิด เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์มีดังต่อไปนี้ โดย เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทองคำ การพิสูจน์: พิจารณาสมการพหุนาม x2 = x + 1 เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย xn − 1เราได้วา ผลเฉลยของสมการ x2 = x + 1 ได้แก่ และ ดังนั้น = และ = พิจารณาฟังก์ชัน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ
5. เราได้วาฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี เลือก and เราได้ว่า และ เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ Fa,b(n) = F(n) และใช้เอกลักษณ์ของ Fa,bพิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ n ทุกตัว เนื่องจาก สำหรับทุกๆ จึงได้ว่าเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า
6. มหัศจรรย์ เลข ฟีโบนักชี I ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 13 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีกับชื่ออันเป็นทีมาของลำดับนี้ คือ ลีโอนาโด ฟีโบนักชี ผู้ซึ่งได้พาเราเข้าไปล่วงรู้ความลับของธรรมชาติ จากการที่เขาได้สังเกต และศึกษาปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่าง ๆ เช่น รูปแบบของฟ้าแลบ รูปแบบของผลไม้ และรูปแบบของเปลือกหอยทาก เป็นต้น การศึกษาของเขาพบว่าการเกิดของ ปรากฏการณ์เหล่านี้มีรูปแบบที่เป็นปกติ และค่อนข้างสม่ำเสมอ โดยนำมาคิดเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์ คือ 1 1 2 3 5 8 1321 34 55 89 ….และต่อ ๆ ไป ซึ่งใช้วิธีการจัดเรียงตัวเลขจากการนำตัวเลขที่อยู่สองตัวข้างหน้าบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลขตัวถัดไปเช่น 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, ตัวอย่างง่าย ๆ ทีแสดงถึงความปรากฏอยู่ของลำาดับฟีโบนักชีใน ธรรมชาติ ได้แก่ การแตกกิ่งก้านสาขาของต้นไม้ ตาลูกสนซึ่งมีการจัดเรียงแบบวนก้นหอยที่หมุนตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกาในอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 หรือตาสับปะรดก็มีการจัดเรียงที่หมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาในอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เช่นกันกับการจัดเรียงเกสรของดอกทานตะวันที่มีการจัดเรียงเกสรแบบหมุนตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกาด้วยอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 แต่ความจริงทีทำให้เราต้องพิศวง ก็คือลำดับฟีโบนักชีจะมีอัตราส่วนจากการหารตัวเลขหลังด้วยตัวเลขหน้า โดยเริ่มจากตัวเลขค่าที่สี่เป็นต้นไป เช่น 5 หารด้วย 3, 8 หารด้วย 5, 13 หารด้วย 8, 21หารด้วย 13 ได้ผลลัพธ์ที่เข้าใกล้อัตราส่วน 1.618 และเมื่อตัวเลขยิ่งเพิ่มมากขึ้น ความเข้าใกล้อัตราส่วน 1.618 นี้ก็ยงมากขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด คนโบราณจึงถือว่ามันเป็นสัดส่วนที่ธรรมชาติได้บรรจงสร้างขึ้นอย่างแสนมหัศจรรย์ พร้อมกับเรียกชื่อตัวเลข 1.618 นี้เป็นภาษากรีกโบราณว่า PHI (ฟี) หรือบางครั้งถึงกับเรียกว่า อัตราส่วนทองคำ (Glodenratio) เราลองมาดูกันว่า PHI มีอยู่แห่งหนใดบ้าง?? ถ้าใครที่เคยศึกษาเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างเพศผู้กับเพศเมียในสังคมผึ้ง คงทราบว่าผึ้งตัวเมียจะมีจำนวนมากกว่าผึงตัวผู้เสมอ แล้วถ้าเราลองนำจำนวนทั้งหมดของผึ้งตัวเมียหารด้วย จำนวนทั้งหมดของผึ้งตัวผู้ไม่วารังใดก็ตามใน
7. โลกนี้ ค่าที่ได้ก็คือ 1.618 หรือ PHI นี่แหละ ไม่วาจะเป็น การจัดเรียง ่เกสรของดอกทานตะวัน ตาสับปะรด ตาลูกสน เปลือกหอยที่เป็นเกลียวรอบ ต่างก็มีอัตราส่วนของเส้นผ่าศูนย์กลางของแต่ละวงเทียบกับวงถัดไปเท่ากับ PHI ทั้งนั้นแล้วถ้าหากเราอยากพิสูจน์ว่าแต่ละวงสามารถจัดเรียงได้ตามลำดับ ฟีโบนักชีหรือไม่ ก็ง่ายนิดเดียว เพียงแค่เอา 1.618คูณหรือหารด้วยวงนั้น ๆ เราก็จะสามารถทราบคำตอบของวงถัดไปทั้งวงนอกและวงในได้โดยไม่ยาก หรือในกรณีการแตกใบของต้นไม้ นักชีววิทยาได้พบว่าใบที่แตกใหม่จะทำมุม 137.5 องศากับแนวใบเดิม ซึ่งถ้าเราเอา 360 – 137.5 จะได้ 222.5 จากนั้นจึงเอา 222.5 หารด้วย137.5 ค่าที่ได้ทุกคนน่าจะเดาถูกนั่นก็คือ PHI ทั้งนี้ นักชีววิทยาได้ให้เหตุผลว่า มุม 137.5 องศา เป็นมุมที่ดีที่สุดในการทำให้ใบไม้ทุกใบของต้นไม้ได้รับแสงแดดมากที่สุด สำหรับการสังเคราะห์อาหารนั่นเองแม้กระทั่งในตัวเราเอง จังหวะการเต้นของหัวใจคนเราจังหวะยาวจะยาวกว่าจังหวะสั้นกี่เท่า ประมาณ 1.618 เท่า ซึ่งก็คือ PHI และที่เหลือเชื่อมีการวิจัยมาแล้ว ว่าคนส่วนใหญ่จะชอบรูปสี่เหลียมผืนผ้า ทีมีอัตราส่วนความ ่ ่ยาวต่อความกว้างเท่ากับ 1.6180339887 ขณะเดียวกันรูปหน้าของคนที่ได้รบการยอมรับว่าได้รูปสวยงาม ในสายตาของคนส่วนมากก็ยังมี ัสัดส่วนเทียบเท่ากับ 1.618 นี้ด้วย จึงไม่แปลกที่ PHI จะได้รับการยกย่องว่าเป็นตัวเลขที่งดงามที่สุด ซึ่งเป็นเหมือนรากฐานให้กับธรรมชาติทั้ง พืช สัตว์ และมนุษย์อนุกรมฟิโบนักชีเริ่มจากการนำตัวเลขที่อยู่ขางหน้าสองตัวหารกันเป็นผลลัพธ์ของตัวเลข และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป
8. 0 1 0+1 =1 1 + 1 =2 1 + 2 =3 ............... จะได้ตัวเลขเป็น n= 0 1 2 3 4 5 6 f(n) = 0 1 1 2 3 5 8 .............. หรืออาจเขียนเป็นฟังก์ชัน f(n) ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนคู่ของกระต่ายที่ เดือนที่ n โดยเราเริ่ม f(1) = 1 f(2) ระหว่างเดือนที่ 2 =1 = f(n-1) + f(n-2) กรณีที่ n > และเราได้ f(n) 2 ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชำติ สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่นา ่สนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูงได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับ
8. 0 1 0+1 =1 1 + 1 =2 1 + 2 =3 ............... จะได้ตัวเลขเป็น n= 0 1 2 3 4 5 6 f(n) = 0 1 1 2 3 5 8 .............. หรืออาจเขียนเป็นฟังก์ชัน f(n) ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนคู่ของกระต่ายที่ เดือนที่ n โดยเราเริ่ม f(1) = 1 f(2) ระหว่างเดือนที่ 2 =1 = f(n-1) + f(n-2) กรณีที่ n > และเราได้ f(n) 2 ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชำติ สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่นา ่สนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูงได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับ
9. เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูปมุม A = มุม B = มุม C เส้นโค้งที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่นาสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชีการนำไปใช้ จำานวนฟีโบนัชชีมีความสำาคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเขาเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำานวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำาไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท
10. จำานวนเต็มทุกจำานวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ ตัวกำาเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชีได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบ สูตรคำนวณจำนวนกลีบดอกไม้ หลายคนคงเคยเด็ดดอกไม้มาปลิดกลีบเล่น หรือเคยปลิดกลีบดอกไม้ทีละกลีบเพื่อเสี่ยงทาย โดยเฉพาะเรื่องความรัก .. ไม่รัก ..รัก .. ไม่รัก ..... แต่หลายคนอาจไม่เคยรูมาก่อนว่าจำนวนกลีบ ้ดอกไม้นั้นมีสูตรคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วย มาดูกันเลยว่าสูตรคำนวณจำานวนกลีบดอกไม้มีที่มาอย่างไร ในราวต้นคริสต์ศตวรรษที่ 13 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ชื่อ ลีโอนาร์โด ดา ปีซา ได้สังเกตและศึกษาปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่างๆเช่น รูปแบบของฟ้าแลบ รูปแบบของผลไม้ รูปแบบของเปลือกหอยและอื่นๆ การจากศึกษาของเขาพบว่าการเกิดปรากฏการณ์เหล่านี้มีรูปแบบที่เป็นปกติและค่อนข้างสม่ำเสมอ เมื่อนำมาคิดเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์จะได้ลำดับตัวเลข 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, ... และต่อๆ ไปเรื่อย ซึงวิธีการก็คือการจัดเรียงตัวเลขโดยการนำตัวเลขที่อยู่สองตัวข้างหน้ามาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลขตัวถัดไป เช่น 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ... เป็นต้นลำดับเลขเหล่านี้เรียกว่า ลำดับเลขฟีโบนักชี (Fibonacci numbers)ซึ่งสามารถนำมาเขียนเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ได้เป็น Xn = Xn-1+ Xn-2 โดยตัวเลขตำแหน่งที่ n เท่ากับตัวเลขตำแหน่งที่ n-1 บวกกับตัวเลข ตำแหน่งที่ n-2
11. ตัวอย่างของลำดับ เลขฟี โ บนักชีที่ปรากฏอยู่ ในธรรมชาติ เช่นอัตราส่วนระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของเกลียวเปลือกหอยนอติลุส การแตกกิ่งก้านสาขาของต้นไม้ ตาลูกสนซึ่งมีการจัดเรียงแบบวนก้นหอยที่หมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาในอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 หรือตาสับปะรดก็มีการจัดเรียงที่หมุนตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาใน อัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เช่นกัน กับการจัดเรียงเกสร ของดอกทานตะวัน ที่ มี การจัดเรียงเกสรแบบหมุนตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกาด้วยอัตราส่วน เป็น 21 ต่อ 34 จากการศึกษาพบว่าดอกไม้เกือบทุกชนิดจะมี จำนวนกลีบดอกเท่ากับลำดับเลขฟีโบนักชีซึ่งก็คือ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... หรือไม่ก็มีจำนวนกลีบดอกตรงกับจำนวนเท่าของลำดับเลขฟีโบนักชี โดยมีดอกไม้จำนวนเพียงไม่กี่ชนิดเท่านั้นที่มีจำนวนกลีบดอกไม่ตรงกับลำดับเลขฟีโบนักชี มาดูตัวอย่างลำดับเลขฟีโบนักชีกับจำนวนของกลีบดอกไม้ ดอกหน้าวัว 1 กลีบ ดอกโป๊ยเซียน 2 กลีบ ดอกพลับพลึง ที่เห็นมี 6 กลีบ แต่ที่จริงแล้วเป็นกลีบดอก 3 กลีบ ดอกพุดพิชญา มี 5 กลีบ ซึ่งดอกไม้ส่วนใหญ่ที่พบเห็นจะมี 5กลีบ
12. เช่น ชวนชม ดอกแก้ว พังพวย และกลีบเลี้ยง 3 กลีบ ดอกกุหลาบ มีตั้งแต่ 5 กลีบ, 8 กลีบ, 13 กลีบ, 21 กลีบ แล้วแต่สายพันธุ์ ดอกอัญชัน 1 กลีบ ดอกบัวตอง มี 13 กลีบ และดอกไม้พวกเดชี่จะมีตั้งแต่ 13 กลีบ, 21 กลีบ, 34 กลีบ, 55 กลีบ และ 89 กลีบดอกทานตะวัน แสดงเล็กฟีโบนักชีด้วยเช่นกัน เมื่อมองจากจุดศูนย์กลางของดอกทานตะวันที่กำลังบาน จะเห็นวงก้นหอยของเมล็ดแตกต่างกัน 2 วง วงหนึ่งเวียนทวนเข็มนาฬิกา อีกวงก็ตามเข็มนาฬิกา เวียนซ้ายจะเท่ากับ34 และวนขวาเท่ากับ 55 นอกจากนี้ยังพบว่า มีจำนวนวง 89 และ 144หรือ 144 และ 233 อีกด้วย อย่างไรก็ดี จำนวนวงไม่เป็นไปตามนี้ บางทีก็พบเป็นจำนวนสองเท่าของเลขฟีโบนักชี เช่น แทนที่จะเป็น 34,55 ก็จะเป็น 68 , 110 เป็นต้น สับปะรด กับ กิ่งไม้ย้อนไปดูได้ครับ ดอกทานตะวันแสดงเมล็ดเรียงตัวเป็นวงก้นหอยขนานกัน 55 วงใน ทิศทวนเข็มนาฬิกาและอีก อันมี 89
13. ในสัตว์อย่าง... ผึ้ง ผึ้งก็แสดงการสืบพันธุ์เป็นเลขฟีโบนักชีด้วยเช่นกัน ดังภาพ ผึ้งตัวผู้เกิดจากไข่ที่มิได้ผสมน้ำเชื้อหมายความว่าผึ้งตัวผู้มีแต่แม่ ไม่มีพ่อผึ้งตัวเมียเกิดจากไข่ที่ผสมน้ำเชื้อ จึงมีทั้งพ่อและแม่รูปห้ำเหลี่ยมด้านเท่า ฟีโบนักชี ยังมีบทบาทในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าอีกด้วย เช่น ภาคตัดขวางของเมล็ดแอบเปิล ดอกไม้หลายชนิด มี 5 กลีบ ในสัตว์ ก็ปลาดาว และหอยแซนด์ ดอลลาร์ เป็นต้น อัตราส่วนของด้านกับเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลียมด้านเท่า
14. นี่คือตัวอย่างการศึกษาทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ และความจริงทางธรรมชาติ ทำให้เราได้ค้นพบว่าสิ่งต่างๆ ที่เกิดขึ้นนั้น ธรรมชาติลวนได้สร้างกฎเกณฑ์พื้นฐานรองรับไว้อย่างน่าอัศจรรย์ พร้อมกันนั้นยังก่อให้เกิดสัดส่วนที่มีความสมส่วนซึ่งกันและกันของขนาด จนกลายเป็นความงาม ความกลมกลืน ทีเราต่างก็ยอมรับถึงความเหมาะเจาะลงตัว คอยดูกันต่อไปดีกว่า ว่าในอนาคตธรรมชาติจะทำให้เราต้องประหลาดใจกันอีกแค่ไหนความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำานวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสูอัตราส่วนทองคำ กล่าวคือลู่เข้าสูอัตราส่วนทองคำการพิสูจน์: สำหรับจำนวนจริง เราได้ว่า
15. , เนื่องจาก ดังนั้น เนื่องจากจำานวนฟีโบนัชชีคือ Fa,b เมื่อ และ ลิมิตของอัตราส่วนของ ฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย
